宇称算符

宇称算符（Parity）定义：$\hat{P} \psi(\mathbf{r}) = \psi(-\mathbf{r})$

• 直角坐标：$x → -x, y → -y, z → -z$
• 球坐标： $r$ 不变, $\theta → \pi - \theta, \phi → - \phi$

性质：

• 宇称算符是厄米¹的（$\hat{P} = \hat{P}^{\dagger}$），又是幺正²的（$\hat{P}^{\dagger} = \hat{P}^{-1}$）
• 本征值为 +1 或 -1
• 若体系的哈密顿量 $\hat{H}$ 在空间反演下不变（$H(\hat{P}, r) = H(-\hat{P}, -r)$），则宇称算符 $\hat{P}$ 与 $\hat{H}$ 对易³：$[\hat{P}, \hat{H}] = 0$，则宇称守恒⁴
• 宇称守恒：若初态有确定的宇称（初态是宇称算符的本征态），则以后任何时刻，体系的状态均有相同的宇称。若体系处于叠加态，在宇称守恒下，偶宇称部分和奇宇称部分的相对权重保持不变。

定义一个新算符（投影算符）：$\hat{P}_{\pm} = 1/2(1 \pm \hat{P})$

$$ \hat{P}_{\pm} \psi = 1/2(1 \pm \hat{P}) \psi \equiv \psi_{\pm} $$

$$ \hat{P} \psi_{\pm} = \hat{P} /2(1 \pm \hat{P}) \psi = 1/2(\hat{P} \pm 1) \psi = \pm 1/2(1 \pm \hat{P}) \psi = \pm \psi_{\pm} $$

$$ \psi = \psi_{+} + \psi_{-} $$

以上说明，用这个新算符作用到任意一个没有确定宇称的态上，可以得到一个新的态，这个态有确定的宇称。也即，任意一个没有确定宇称的态，总可以分解成偶宇称的部分和奇宇称部分的和，每部分有确定的宇称。

宇称变换是指将空间坐标进行反向，若一个物理量在变换后保持不变，则称其具有偶宇称；若一个物理量在变换后变为其相反数，则称其具有奇宇称。

偶宇称算符（$\widehat{A}_{+}$）：该算符与宇称算符对易 $[\widehat{A}_{+}, \hat{P}] = \widehat{A}_{+}\hat{P} - \hat{P}\widehat{A}_{+} = 0$ ，如动能算符和角动量算符。

也即：

$$ \widehat{A}_{+} = \hat{P}\widehat{A}_{+}\hat{P} = \hat{P}^{-1}\widehat{A}_{+}\hat{P} $$

奇宇称算符（$\widehat{A}_{-}$）：该算符与宇称算符反对易 $[\widehat{A}_{-}, \hat{P}] = \widehat{A}_{-}\hat{P} + \hat{P}\widehat{A}_{-} = 0$

也即：

$$ \widehat{A}_{-} = - \hat{P}\widehat{A}_{-}\hat{P} = - \hat{P}^{-1}\widehat{A}_{+}\hat{P} $$

性质（选择定则）：

• 偶宇称算符的矩阵元只有在初末态具有相同宇称的情况下才不为零（跃迁）
• 奇宇称算符的矩阵元只有在初末态具有相反宇称的情况下才不为零（跃迁）