量纲的基本概念
量纲：为了辨识某类物理量和区分不同类物理量，人们使用量纲来表示物理量的不同属性。例如长度、质量和时间，他们具有不同的量纲。另一类物理量的大小与度量时选用的单位无关，称之为无量纲量。例如角度、两个力之比等。
基本量：具有独立量纲的那些物理量，它的量纲不能表示为其他物理量的量纲组合。在国际单位制中有七个基本量：长度（$L$）、质量（$M$）、时间（$T$）、电流（$I$）、温度（$Θ$）、光强度（$J$）和物质的量（$N$）。
量纲的幂次表示：任意物理量的量纲可以表示成一组基本量的幂次积。
| 物理量 | 推导过程 | 量纲 |
|---|---|---|
| 长度 | 基本量 | $L$ |
| 质量 | 基本量 | $M$ |
| 时间 | 基本量 | $T$ |
| 频率 | 1 / 时间 | $T^{-1}$ |
| 速度 | 长度 / 时间 | $LT^{-1}$ |
| 加速度 | 速度 / 时间 | $LT^{-2}$ |
| 力 | 质量 * 加速度 | $MLT^{-2}$ |
| 能量/功 | 力 * 长度 | $ML^2T^{-2}$ |
| 功率 | 功 / 时间 | $ML^2T^{-3}$ |
| 约化普朗克常数 | 能量 * 时间 | $ML^2T^{-1}$ |
| 动量 | 质量 * 速度 | $MLT^{-1}$ |
| 三维波函数 | 1 / 体积 | $L^{-3/2}$ |
量纲的完整性：反映客观实际规律的关系式必须在单位尺度的主观任意变换下不受破坏。
量纲的齐次性：反映客观实际规律的关系式中所有各项具有完全相同的量纲，也就是每一项的每一基本量纲都有相同的幂次。量纲齐次是构成完整性的充分和必要条件。
$\Pi$ 定理
若有一个齐次性的方程，其中有 $N$ 个变量（表示物理规律的函数关系中，变量必须是自变量，不能混入因变量，也不要加入与问题无关的量），而基本量的数目是 $k$，那么一定形成 $N-k$ 个无量纲变量，他们之间形成确定的函数关系。下面对其进行更详尽解释：
设 $N$ 个变量 $a_1, a_2, \dots a_N$ 描述的物理规律表述为如下函数关系
$$ f(a_1, a_2, \dots a_N) = 0 $$
在这 $N$ 个变量中选出 $k$ 个基本量，不妨将其排在前面，他们是 $a_1, a_2, \dots a_k$ 而后面 $N-k$ 个变量是导出量（量纲可以表示为基本量量纲组合的物理量）。将这 $k$ 个基本量取作单位，上面函数关系化为
$$ f(1, 1, \dots 1, \Pi_1, \Pi_2, \dots \Pi_{N-K}) = 0 $$
在以上函数 $f$ 的变量中，最前面有 $k$ 个1，他们都是不变化的常数，只有后面 $N-k$ 个 $\Pi_1, \Pi_2, \dots \Pi_{N-K}$ 才是对 $f$ 起作用的无量纲变量。因此函数关系可以改写为
$$ f(\Pi_1, \Pi_2, \dots \Pi_{N-k}) = 0 $$
量纲分析
量纲分析是指，利用物理定律的量纲齐次性原则，应用 $\Pi$ 定理，对现象各控制参数进行无量纲化，从而分析和探究物理量之间的本质关系。
基本步骤：
- 在对某种现象进行初步研究的基础上，找出现象的控制参数 $a_1, a_2, \dots a_N$；
- 写出对现象进行描述的函数关系：$f(a_1, a_2, \dots a_N) = 0$；
- 分析以上函数关系式中的量纲，找出 $k$ 个基本量和 $N-k$个导出量；
- 将导出量的量纲用基本量的量纲表示，得到函数关系 $f(\Pi_1, \Pi_2 \dots \Pi_N-k) = 0$
- 说明在基本量 $a_1, a_2, \dots a_k$ 变化时，为使无量纲量 $\Pi_1, \Pi_2, \dots \Pi_{N-k}$ 保持不变，而需如何改变导出量 $a_k+1, a_k+2, \dots a_N$，从而得出描述现象各控制参数间的基本依赖关系。
无量纲化
从有量纲形式的因果关系 $f(a_1, a_2, \dots a_N) = 0$ 转化为无量纲形式的因果关系 $f(\Pi_1, \Pi_1, \dots \Pi_{N-k}) = 0$，这样省去了单位换算的麻烦，也减少了自变量的个数，使得进行实验或分析计算来得简便。
一个例子
以球坐标下，三维各向同性谐振子的薛定谔方程进行无量纲化为例：
哈密顿量为
$$ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + \frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2 $$
球坐标下，$\nabla$可以表示为
$$ \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) - \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2 r^2} $$
将 $H$ 代入定态薛定谔方程 $H\psi = E\psi$
$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu r^2} \left( \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2}\right) + \frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2 \right] \psi = E \psi $$
利用分离变量法，令 $\psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y_{lm}(\theta, \phi)$，得到径向薛定谔方程
$$ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} + \frac{2}{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \right) R(r) + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2 \mu r^2} R(r) + \frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2 R(r) = E R(r) $$
对以上方程进行无量纲化：
方程的控制参数有 {$E, \mu, \omega, \hbar, r, l$}，共 $N = 6$ 个。
关系式如上 $f(E, \mu, \omega, \hbar, r, l) = 0$
选择 $\mu, \omega, \hbar$ 作为基本量，导出量为 $E, r, l$
将「导出量」的量纲由「基本量」的量纲表示
- $\mu$ 的量纲为：$M$
- $\omega$ 的量纲为：$T^{-1}$
- $\hbar$ 的量纲为：$ML^2T^{-1}$
- $E$ 的量纲为 $ML^2T^{-2}$ ，用基本量的组合量纲表示其量纲：$ML^2T^{-2} = \hbar \omega$
- $r$ 的量纲为 $L$ ，同上，$L = \sqrt{\hbar / \mu \omega}$
- $l$ 本身无量纲
于是，就将导出量转化为了无量纲量。
$$ \begin{aligned} \Pi_1 &= \frac{E}{\hbar \omega} \\ \Pi_2 &= \frac{r}{\sqrt{\hbar / \mu \omega}} \\ \Pi_3 &= l \end{aligned} $$
方程化为
$$ f(\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3) = 0 $$
根据 $\Pi$ 定理，若要描述现象的物理规律在不同尺度（即基本量 $\mu$, $\omega$, $\hbar$ 变化）下保持一致，无量纲量 $\Pi_i$ 必须保持不变。
- 能量依赖关系（特征能量），即 $E \propto \hbar \omega$
- 空间依赖关系（特征长度），即 $r \propto \sqrt{\hbar / \mu \omega}$
用上述得到的无量纲量 $\Pi_1, \Pi_2 , \Pi_3$ 替换原方程中的导出量 $E, r, l$，并让，基本量 $\mu, \omega, \hbar$ 为1，从而使整个方程无量纲化。
$$ \left[ -\left( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\Pi_2^2} + \frac{2}{\Pi_2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\Pi_2} \right) + \frac{\Pi_3(\Pi_3+1)}{\Pi_2^2} + \Pi_2^2 \right] R(\Pi_2) = 2\Pi_1 R(\Pi_2) $$
这样再进行实验分析或者继续求解就方便许多了。