按态叠加原理，任何一个量子态 $\psi$ 可一看成一个希尔伯特空间的中的矢量，而体系的任意一组力学量完全集 $F$ 的共同本征态可以构成希尔伯特空间的中的一组完备、正交、归一的基矢。
在不同的基矢中，同一个量子态有不同的表示。那么，怎么将在两个不同基矢中表示的同一个量子态联系起来？
假设在 $F$ 表象中，以 ${\psi_k}$ 为基矢，体系的任意量子态 $\psi$ 可以按此展开：
$$ \psi = \sum_{k} a_k \psi_k $$
其中 $a_k = (\psi_k, \psi)$ ，这一组数（$a_1, a_2, \dots$）就构成量子态 $\psi$ 在 $F$ 表象中的表示，他们分别是态势 $\psi$ 与各基矢的标积。
假设在另一个 $F^\prime$ 表象中，以 $\psi^\prime_\alpha$ 为基矢，同样一个量子态 $\psi$ 可以按此展开：
$$ \psi = \sum_\alpha a^\prime_\alpha \psi^\prime_\alpha $$
其中 $a^\prime_\alpha = (\psi^\prime_\alpha, \psi)$ ，这一组数（$a^\prime_1, a^\prime_2, \dots$）就构成量子态 $\psi$ 在 $F^\prime$ 表象中的表示。
由于是同一量子态 $\psi$，它在不同坐标系中的表示不应该影响自身。所以
$$ \psi = \sum_{k} a_k \psi_k = \sum_\alpha a^\prime_\alpha \psi^\prime_\alpha $$
我们要找的关系就是 $a_k$ 与 $a^\prime_\alpha$ 的对应关系。
我们将上式左乘 $\psi^\prime_\alpha$ 后再取标积。第二个等式右边由正交归一性得 $a^\prime_\alpha$，第一个等式右边由正交归一性得 $\sum_k (\psi^\prime_\alpha, \psi_k)a_k$
我们把 $(\psi^\prime_\alpha, \psi_k)$ 简写成 $S_{\alpha k}$ 就得到了
$$ a^\prime_\alpha = \sum_k S_{\alpha k} a_k $$
这就是同一个量子态在 $F$ 表象和$ F^\prime$ 表象中的不同表示之间的关系。
由于 $a^\prime_\alpha$ 和 $a_k$ 是一系列数，所以这个关系可以写成矩阵的乘法形式：
$$ \begin{pmatrix} a'_1 \\ a'_2 \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} & \cdots \\ S_{21} & S_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{pmatrix} $$
$a^\prime_1$ 就等于 $S_{11} * a_1 + S_{12} * a_2 + \dots$ 和上式简写一致。
这个 $S$ 矩阵是一个幺正矩阵，即 $S^\dagger S = S S^\dagger = 1$，所以这种变换也称为幺正变换。