希尔伯特空间是一个复空间，可以选取某个力学量算符的本征函数系作为其基底。在这个特定基底下讨论态矢量和算符时，我们称之为进入了该算符的表象。一个量子态对应这个空间的一个态矢量。给定一个组基底后，只要边界条件相同，任何一个量子态都可以在此空间展开。展开后在基底上的一组分量就是波函数，就是这个量子态的描述。一个算符是一种操作，这组操作在希尔伯特空间中对应一个矩阵，矩阵的行和列和新基在老基上的投影联系在一起。
引进算符的目的是为了计算平均值，平均值是实验测量某个力学量的数值，是实数。因此，若算符给出的平均值不是实数，就不对应一个力学量，就不是量子力学里的合法算符。只有厄米算符的平均值给出实数值，所以力学量所对应的算符必须是厄米算符。在坐标空间算平均值，动量是算符；在动量空间算平均值，坐标是算符。
量子力学里的算符必须是线性厄米算符。力学量用算符来对应的时候，只在直角坐标系里成立。因为只有在直角坐标系下，这个算符的形式才是厄米的。要将算符的形式变化到球坐标系或柱坐标系，要将算符在直角坐标系里的具体形式里的偏导号用链式法则转换到对应坐标系中。
算符的转置（$\widetilde{\hat{O}}$）：调换矩阵的行和列顺序。
算符的厄米共轭（$\hat{O}^\dagger$）：调换矩阵的行和列顺序，再对每个元素取复共轭。
若一个算符的厄米共轭等于其本身，则该算符为厄米算符。
厄米算符定义式：$\langle \psi | \hat{A} \phi \rangle = \langle \hat{A} \psi | \phi \rangle$
厄米算符的性质：
- 算符是厄米算符，平均值是实数（充分1 必要2）。
- 算符是厄米算符，本征值是实数（充分3 必要4）。
- 算符是厄米算符，本征函数具有正交性和归一性。属于不同本征值的本征函数正交归一，属于相同本征值的本征函数（简并）总可以重新组合，从而实现正交归一。
- 算符是厄米算符，本征函数具有完备性/封闭性（定义域一致的任意波函数，总可以按其展开）。