量子力学里的测量

算符 $\hat{F}$ 的均方根偏差：$\hat{F}$ 的测量值减去 $\hat{F}$ 的平均值再对整体取平方后，再取平均值。

只有当算符的方均根偏差为零时，也就是说，只有处于 $\hat{F}$ 的本征态时，测量 $\hat{F}$ 才有确定的数值。

在非 $\hat{F}$ 的本征态（如 $\phi$ 态)中测量 $\hat{F}$，由于 $\psi$ 态是厄米算符 $\hat{F}$ 的本征态，符合完备、正交、归一、封闭性。让 $\psi$ 态在 $\phi$ 态里展开。然后计算 $\hat{F}$ 在 $\phi$ 态的平均值时，将 $\phi$ 态替换为 $\psi$ 态。会得到 $|C_n|^2$ 乘上 $\hat{F}$ 的本征值 $F_n$ 再对 $n$ 求和。所以在非 $\hat{F}$ 的本征态下测量 $\hat{F}$，只能得到可能值 $F_n$ 和平均值⸺所有可能值 $F_n$ 都以一定的概率 $|C_n|^2$ 出现，可能值乘上它出现的概率，再对所有结果求和，就是平均值。

总的来说，在非 $\hat{F}$ 的本征态中测量，没有确定值，只有可能值和平均值。

测量会导致态的改变：测量前一个体系是混态，一旦测量，波函数就塌缩到与测量值对应的那个本征态上，读到一个测量值。再次测量（两次测量时间间隔极短）测得的还是同样的本征值。

若两个力学量对易 $[\hat{F}, \hat{G}] =0$，则他们必有共同本征函数系（充要条件¹），则这两个力学量可以同时有确定的测量值。两个算符不对易，也可能有共同本征函数。如 $L_x$ 和 $L_y$ 不对易，但 $Y_{00}$ 是他们的共同本征函数。若要多个力学量同时有确定的测量值，则需要这些力学量两两相互对易。

在三维中，有三个两两相互对易的力学量就能构成一个力学量的完全集。把完全集中的所有力学量都作了测量，系统的状态就完全给定。

简并来自力学量完全集的不完全测量。比如，氢原子中能量是简并的，是因为氢原子的波函数既有径向的 $R$ 也有角向的 $Y_{lm}$。由于能量只和 $R$ 有关，没有测量 $Y$ 时，$Y$ 有多种可能性或自由度，这就导致了简并。若继续测量 $Y_{lm}$ 里的角量子数和磁量子数后，体系的状态就完全给定，简并就消失了。

量子数是客体的一种属性。何为电子？量子数与定义电子的量子数一致的物质为电子。给出客体所有量子数，也就是做了完全测量，就决定了一个量子态（波函数）。

好量子数：对应的力学量是守恒量。