力学量随时间的变化

力学量 $\hat{F}$ 的平均值定义：

$$ \langle \hat{F} \rangle = \int \psi^*(\mathbf{r}, t) \hat{F} \psi(\mathbf{r}, t) d\tau \tag{1} $$

对时间求导数：$\langle \hat{F} \rangle$

$$ \frac{d}{dt} \langle \hat{F} \rangle = \langle \frac{\partial \hat{F}}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [\hat{F}, \hat{H}] \rangle \equiv \langle \frac{d}{dt} \hat{F} \rangle \tag{2} $$

当 $\langle \hat{F} \rangle$ 不显含 $t$ 时，$ \partial \hat{F} / \partial t$ 为 $0$

得：

$$ \frac{d}{dt} \hat{F} = \frac{1}{i\hbar} [\hat{F}, \hat{H}] \tag{3} $$

结论：

• 若 $\hat{F}$ 不显含 $t$，且 $[\hat{F}, \hat{H}] = 0$，则 $\hat{F}$ 为守恒量
• 守恒量在任何态下的平均值与 $t$ 无关
• 在任何态下，测 $\hat{F}$ → 可能值。出现各种可能值的几率分布与 $t$ 无关¹
• 若 $t=0$ 时，$\hat{F}$ 有确定值 → $t=t$ 时也有确定值
• 若 $t=0$ 时，$\hat{F}$ 无确定值 → $t=t$ 时也无确定值
• 守恒量对应好量子数，这个量子数不随时间变而变
• 若 $\hat{F}$ 与 $\hat{G}$ 不对易，且 $\hat{F}$ 与 $\hat{G}$ 均为守恒量 → 能级简并²

守恒量定义：

1. 一个算符如果本身不显含 $t$，而且和哈密顿量对易，这个量就是守恒量。
2. 守恒量只管过程，从初始时刻到末时刻这段时间里的变化，不随时间而变。原来是一个平均值，过一段时间后还是一个平均值；原来是这些可能值，过一段时间后还是这些可能值，这些可能值出现的各种几率，过一段时间后还是这些几率，对初态是没有限制的。

所以测量一个守恒量，在非本征态下，只能说各个可能值出现的概率不随时间变而变，而不能说这个守恒量的测量值不随时间变而变。只有在这个守恒量的本征态下测量值才不随时间变而变。

好量子数举例：氢原子态 $\psi_{nlm} = R_{nl} Y_{lm}$

• 这个体系能量 $\hat{H}$ 是守恒的，对应的量子数是 $n$
• 这个体系的角动量平方 $\hat{L^2}$ 是守恒的，对应的量子数是 $l$
• 这个体系的角动量的分量 $\hat{L_z}$ 是守恒的，对应的量子数是 $m$
• $n l m$ 都为好量子数，不随时间变而变
• 任何一个守恒量都对应一个好量子数

一件事情守恒，意味着不变性。

• 能量守恒意味着时间平移不变，也就是没有绝对的时间原点，也就是在某个时刻做实验的结果和在另一个时刻做实验的结果是一样的。
• 动量守恒，空间平移不变。
• 角动量守恒，空间转动不变。
• 以上的种种不变性，都是在连续的背景下所说的。而宇称（位置 $r$ 变为 $-r$）和运动反演（时间 $t$ 变为 $-t$）和正反粒子反演（电荷共轭不变性，正电子和负电子反转）是分裂的不变性。