接上一篇，补充解释下标积的物理意义。$(\phi, \psi)$ 为 $\psi$ 和 $\phi$ 标积，意味着态矢量 $\psi$ 在态矢量 $\phi$ 上投影的分量。所有量子态都是希尔伯特空间中的一个矢量，而算符作用于一个矢量，会得到一个新的矢量。比如说一个旋转算符，作用一个矢量意味着将这个矢量在希尔伯特空间里朝某个方向旋转某个度数。
上篇说的是态矢量不变，而坐标系变。对于算符作用一个态矢量而言，是坐标系不变，态矢量改变。态矢量是一个列矩阵，那算符的矩阵元应该分别对应什么呢？也就是说如果我知道了变化前和变化后的态，我们怎么定义一个算符，来实现态的转变？
以二维平面矢量为例，任意矢量 $\mathbf{A}$ 逆时针旋转 $\theta$ 角后，就变成了矢量 $\mathbf{B}$，在 $x_1 x_2$ 坐标系中，他们分别表示为：
$$ \mathbf{A} = A_1 \mathbf{e}_1 + A_2 \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{B} = B_1 \mathbf{e}_1 + B_2 \mathbf{e}_2 $$
矩阵 $S$ 定义了从矢量 $\mathbf{A}$ 到矢量 $\mathbf{B}$ 的转变，即：$\mathbf{B} = S \mathbf{A}$
将分量代入后得：$B_1e_1 + B_2e_2 = A_1 S e_1 + A_2 S e_2$
分别用 $e_1$ 和 $e_2$ 与上式点乘，得
$$ B_1 = A_1(e_1, Se_1) + A_2(e_1, Se_2) \\ B_2 = A_1(e_2, Se_1) + A_2(e_2, Se_2) $$
将上式看成矩阵的乘法：
$$ \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (e_1, Se_1) & (e_1, Se_2) \\ (e_2, Se_1) & (e_2, Se_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \end{pmatrix} $$
我们就最终得到了矩阵 $S$ 的具体形式。
分析下矩阵中的矩阵元，可以看到：矩阵的列元素为变化后的某个基矢在所有原始基矢上的投影，然后按顺序排列。
也就是说，将一个老态矢量(A)变化为新态矢量(B)的矩阵元为：这个矩阵($S$)作用在老基上后得到一个新基，这个新基在老基上的投影。
因此，$S$ 矩阵一旦给定，则各个基矢在转动下的变化就完全确定了，因而任何矢量在转动下的变化就随之完全确定。
类似，可以推广到希尔伯特空间，变化矩阵为算符，矢量为量子态，而变化矩阵的矩阵元就为算符的矩阵元。由于在希尔伯特空间中基矢可以由任意一组力学量完全集的本征函数系所表示，所以在选取某个表象后，算符的在该表象下的矩阵元就为这个算符作用在基矢上后得到的新基矢在原基矢上的投影。
力学量算符在不同表象下有不同的矩阵形式。这会影响这个算符的作用效果吗？
从数学的角度看，会有影响。但物理现象不会由表象的变化而有实质的变化。
简单证明：
$$ \begin{aligned} \hat{F} a &= \lambda a \\ \hat{F^\prime} b &= S \hat{F} S^{-1} S a = SFa =S \lambda a = \lambda S a = \lambda b \end{aligned} $$
某个算符在自身表象下的矩阵形式是什么呢？
那这个算符的矩阵元为，这个算符作用在其本征矢上，得到本征值数乘这个基矢，再投影回到它的本征矢上。由于基矢（本征函数系）具有正交归一性，所以这个算符的矩阵元只有对角上才有非零值，这是个对角矩阵。
结论：任意一个算符在以它自己的本征矢为基矢的表象中是对角矩阵。
$$ $$