在 $F$ 表象中，基矢为 ${\psi_k}$，力学量 $L$ 在此表象中表示成矩阵：
$$ L_{kj} = (\psi_k, \hat{L} \psi_j) $$
在另一个表象 $F^\prime$ 中，基矢为 ${\psi^\prime_\alpha}$，同一个力学量 $L$ 在此表象中表示成矩阵：
$$ L^\prime_{\alpha \beta} = (\psi^\prime_\alpha, \hat{L} \psi^\prime_\beta) $$
我们要把力学量 $L$ 从 $F$ 表象变到 $F^\prime$ 表象中，秘诀是把 $F^\prime$ 表象中的基矢在 $F$ 表象中展开。利用：
$$ \psi^\prime_\alpha = \sum_k a_k \psi_k = \sum_k (\psi_k, \psi^\prime_\alpha) \psi_k = \sum_k (\psi^\prime_\alpha, \psi_k)^{\ast} \psi_k = \sum_k S^{\ast}_{\alpha k} \psi_k \\ \psi^\prime_\beta = \sum_j (\psi_j, \psi^\prime_\beta) \psi_j = \sum_j S^{\ast}_{\beta j} \psi_j $$
得：
$$ \begin{aligned} L^\prime_{\alpha \beta} &= (\psi^\prime_\alpha, \hat{L} \psi^\prime_\beta) \\ &= \int (\psi^\prime_\alpha)^{\ast} \hat{L} \psi^\prime_\beta d\tau \\ &= \int \sum_k S_{\alpha k} \psi^{\ast}_k \hat{L} \sum_j S^{\ast}_{\beta j} \psi_j d\tau \\ &= \sum_{jk} S_{\alpha k} \int \psi^{\ast}_k \hat{L} \psi_j d\tau S^{\ast}_{\beta j} \\ &= \sum_{jk} S_{\alpha k} L_{kj} S^{\ast}_{\beta j} \\ &= \sum_{jk} S_{\alpha k} L_{kj} S^{\dagger}_{j \beta} \\ &= (SLS^{\dagger})_{\alpha \beta} \end{aligned} $$
即：
$$ L^\prime = SLS^{\dagger} = SLS^{-1} $$
这就是将力学量 $L$ 从 $F$ 表象变换到 $F^{\prime}$ 表象的方程。